Het Droste-effect in Eschers PRENTENTENTOONSTELLING

Bruno Ernst, augustus 2006

Het Droste-effect is al, onzichtbaar, in de prent aanwezig, Het volgt uit Eschers opmerking: "De jongeman links kijkt naar een prent waar hij zelf op staat".
Een logische uitbreiding van deze opmerking is: De jongeman links kijkt naar een prent waar hij zelf op staat, kijkend naar een prent waar hij zelf op staat, kijkend naar een prent waar hij zelf op staat ...... enzovoort."
En dat is nu juist een mooie omschrijving van het Droste-effect.

In de volgende vijf figuren zien we dat duidelijk uitgebeeld:

• eerst de jongeman in de galerij kijkend naar een prent;
• dan wordt ingezoomd op het bovenste deel van de prent waarnaar hij kijkt;
• dat blijkt een galerij te zijn op de hoek van een straat;
• en dan een kijkje in deze galerij, waarbij we de jongeman weer voor een prent zien staan;
• tenslotte wordt op deze jongeman ingezoomd waarbij we hetzelfde plaatje krijgen als het eerste.

Figuur 1. Een jonge man bekijkt Escherprenten in een galerij. Zijn blik valt op een prent die veel overeenkomst vertoont met de prent Malta uit 1935.		Figuur 2. Zijn aandacht gaat vooral uit naar de rechterbovenhoek waarin een deel van het schiereiland Senglea te zien is.
.
Figuur 3. Daar ontdekt hij een hoekhuis met een uitbouw, die hem sterk doet denken aan de prentengalerij die hij zojuist is binnengegaan,		Figuur 4. Bij verdere vergroting ziet hij dat dit klopt. Daar hangen en liggen de Escherprenten en hij meent zelfs een jongeman te zien die naar de prent Malta kijkt.
.
Figuur 5. En inderdaad hij constateert dat het een evenbeeld van hemzelf is. Deze figuur is dezelfde als figuur 1 en toch ook weer niet. Als we de eerste figuur als een afbeelding van de werkelijkheid beschouwen, dan is figuur 5 een afbeelding die op een prent staat.

Dit Droste-effect was niet uit te beelden op het vlak van een normale prent, al zou Escher het als zodanig herkend hebben (wat ik betwijfel). Zijn opmerking  "de jongeman kijkt naar de prent waar hij zelf op staat" was meer bedoeld om de kijker te verrassen en om aan te geven dat het hem gelukt was de prent een gesloten geheel te geven, iets dat hij graag in zijn prenten gebruikte.

De blinde vlek

De blinde vlek in het centrum van de prent is altijd een raadsel geweest. Waarom heeft Escher die niet ingevuld? Zijn eigen antwoord was: "Daar werd alles zo priegelig dat er niets meer aan te tekenen viel."

Men zou kunnen opmerken, dat hij dan het netwerk in het centrum had kunnen uitvergroten om verder te kunnen gaan. Hij zou dan een opmerkelijke vondst gedaan hebben, zoals we verderop nog zullen zien. Maar daar was hij niet naar op zoek; het ging hem om de ringvormige uitbreiding van het platte vlak in beeld te brengen en daarin was hij volkomen geslaagd.

Maar ons blijft die blinde vlek intrigeren.: wat zou daarachter te zien zijn, als Escher verder getekend had volgens het netwerk dat aan de prent ten grondslag ligt?

We kunnen er naar raden als we de prent wat nauwkeuriger bekijken. Bekijk de galerij. Rechts beginnend zien we drie arcaden en een deel van een vierde arcade waarin de jongeman staat.
Maar de galerij loopt ook door en na de derde arcade kromt hij zich naar het centrum van de prent.
We kunnen dat het beste volgen door naar de dakbedekking te kijken. Dan blijkt dat er zes arcaden zijn. De vijfde en een deel van de vierde arcade verdwijnen in de blinde vlek.En we weten dat de jongeman en de prent waar hij naar kijkt te zien moeten zijn achter de vierde arcade. Die en de vijfde arcade zouden wellicht tevoorschijn gekomen zijn als Escher het netwerk in het centrum verder had getekend.
En hier stuiten we weer op het Droste-effect, want de prent waar de jongeman naar kijkt is, sterk verkleind, ook aanwezig in het onzichtbare deel van de vierde arcade zodat een eindeloze herhaling optreedt. Maar dit zijn slechts gissingen.

Figuur 6. Netwerk van gedraaide vierkanten

Wat er werkelijk achter de blinde vlek verborgen is kwam pas aan het licht toen Prof. Hendrik Lenstra in 2000 Escher's netwerk analyseerde. Hij ontdekte, door de (vervormde) vierkantjes in het netwerk op de juiste manier te tellen, dat de hoekpunten van het witte vierkantje in het midden overeenkwamen met de hoekpunten A,B, C en D van het grote vierkant. In het witte vierkantje kon dus het netwerk van het grote vierkant (en zo ook de hele prent) herhaald worden; sterk verkleind en over een hoek van ca. 180 graden gedraaid. Het sterk verkleinde vierkantje had in het centrum natuurlijk ook een nog veel kleiner vierkantje etc.
Hiermee was het verborgen droste-effect in Eschers Prentententoonstelling duidelijk aangetoond.

De formule

Belangrijker nog was het vinden van een mathematische formule die aan Escher's werk ten grondslag ligt. Dit lukte binnen een week; het bleek dat de daarvoor nodige wiskunde al anderhalve eeuw bekend was.

Maar daarmee ontstond nog geen Escherprent waaruit de blinde vlek verdwenen was. Daaraan hebben Lenstra en zijn medewerkers nog twee jaar gewerkt. Eerst moest Eschers netwerk, ontdaan van kleine afwijkingen, nauwkeurig getekend worden.

Figuur 7 en 8. Twee gedeelten van de reconstructie in onvervormde staat. Duidelijk is de witte vlek te zien, die in het centrum van de reconstructie overblijft. Eveneens (vooral aan de onregelmatige raamsponningen) de kleine onvolkomenheden in Eschers prent.

Verder werd Prentententoonstelling in zijn nog onvervormde staat gereconstrueerd door Eschers eigen procédé en volgens zijn eigen netwerk in tegengestelde richting toe te passen. Daarbij bleek dat in het midden van de onvervormde prent een witte vlek, gevuld met een oneindige spiraal, overbleef. In Eschers uiteindelijke prent ontbrak daarvoor het beeldmateriaal.Dit moest handmatig, in overeenstemming met de omgeving, ingevuld worden.

Bovendien waren er in Escher's met de hand getekende netwerk kleine onvolkomenheden die om correctie vroegen. En uiteindelijk werd het onvervormde beeld, dat aan Eschers prent ten grondslag lag helemaal opnieuw getekend.

Figuur 9. De gereconstrueerde versie van de Prentententoonstelling

Nu kon het computerprogramma, gebaseerd op de wiskundige beschrijving van Escher's netwerk de door Escher beoogde ringvormige uitdijing volledig uitvoeren, ver voorbij de grens die Escher bereikt had... tot in het oneindige.
De blinde vlek was verdwenen en de gecorrigeerde Prentententoonstelling bleef zich in het centrum eindeloos herhalen. Dit was natuurlijk niet te tekenen, daarvoor zou een oneindig groot vlak nodig zijn.
Het was wèl mogelijk om dit met een filmpje, waarin steeds ingezoomd werd op het centrum, te laten zien.Verrassende voorbeelden daarvan zijn te vinden op de site http://escherdroste.math.leidenuniv.nl .