HET
DRAAKJE EN EEN BEETJE WISKUNDEBruno's column - mei 2003
[ vorige ] [ overzicht ] [ volgende ]
HET
DRAAKJE EN EEN BEETJE WISKUNDE
Ars et Mathesis beweegt zich op het raakvlak van kunst en wiskunde.
Maar het is duidelijk dat slechts weinig kunstenaars zich ook met wiskunde bezighouden en
dat het niet veel voorkomt dat wiskundigen zich wijden aan de kunst.
Bij het raakvlak blijven belangstellenden dus ieder op eigen terrein en kijken
nieuwsgierig over de heg naar de tuin van hun buurman. Hier wil ik de grens even passeren
en een klein stapje doen in de tuin van de wiskunde. Maar ik beloof U : het is niet
moeilijk en zeer de moeite waard.
De vorige maand hebben we kennis gemaakt met het verschijnsel
dat holle figuren geïnterpreteerd worden als bol. Merkwaardig is, dat een hol gezicht
zich niet van ons afkeert, als we er langs lopen (we zien immers een bol gezicht eerst en
face en daarna van de zijkant), maar dat het zich naar ons toekeert, alsof het ons na
blijft kijken.
Figuur 1. Het draakje met een holle kop blijft ons nastaren als we er langs lopen
Nog merkwaardiger is dat deze draaiïng veel sneller is dan we verwachten.
Met vernuftige opstellingen is in psychologische laboratoria vastgesteld, dat deze
draaiing twee maal zo snel verloopt als bij het lopen langs een normaal bol gezicht. Van
verschillende kanten werd mij verteld, dat voor dit feit een eenvoudig wiskundig bewijs te
geven was. Omdat ik een hekel heb aan het zoeken naar dingen die anderen reeds gevonden
hebben, zocht ik lange tijd (tevergeefs) naar literatuur waar dit bewijs te vinden zou
zijn. Mijn nieuwsgierigheid en mijn ongeduld wonnen het van mijn luiheid en ik begon zelf
te puzzelen. Tot mijn verbazing vond ik binnen een kwartier een heel elementair bewijs.
Hier volgt het.
Het simpele bewijs
We vereenvoudigen het driedimensionale voorwerp tot een lijnstuk AB (zie
figuur 2)
waarbij A dichter bij het oog ligt dan B. Kijken we naar A vanuit O1 en
verplaatsen we het oog naar O2, dan draait de gezichtslijn over een hoek
alpha; dit komt overeen met een draaiïng van AB in tegengestelde richting over een hoek
beta.
| Figuur 2 | Figuur 3 |
 |
 |
Dat is niets bijzonders, we zien dat dagelijks om ons heen gebeuren als we langs een
gezicht of een bos bloemen lopen.
Kijken we naar figuur 3, dan ligt B op de zichtlijn OB. Er zijn echter
geen gegevens over de afstand waarop wij B zien. Maar we kiezen het beeld B' zo, dat AB =
AB'.
Dat is niet zo willekeurig als het lijkt. Als we een hol masker bekijken, waarbij de
punt van de neus het verste van ons af is, zien we een normaal (bol) masker met het punt
van de neus het dichtste bij het oog. En dat zonder vervormingen: de neus wordt
bijvoorbeeld niet plotseling een heel lange Pinocchio-neus!
| Figuur 4 | |
 |
In figuur 4 is eerst een cirkel getekend door A en B en door de beginpositie van het oog O1.Het oog beweegt zich naar rechts, naar O2.Voor een eenvoudige bewijsvoering is O2 ook op de cirkelomtrek getekend. Als de afstand van het oog tot AB niet al te klein is, zal de practische uitkomst weinig afwijken van de theoretische draaiïng, namelijk 2 keer zo snel. Nu volgt het bewijs. |
Het draakje
Het draakje waarvan hierboven twee foto's vanuit verschilende
standpunten zijn afgebeeld, is zeker geen kunst met een grote K. Maar het is wel kunstig.
De kop is hol en het is te maken uit de afbeelding die ik hier voor U weergeef.
Het is in een wip gemaakt: print het uit op een A4-tje en volg de aanwijzingen die er op
staan.
Het illustreert op een indrukwekkende manier het besproken verschijnsel.
Dit als troost voor degenen die mijn wiskundig praatje niet zo waarderen.
(Klik hier om het draakje te downloaden in A4-formaat; ca. 292kB - JPEG / PDF - ca 247kB)
[ vorige ] [ overzicht ] [ volgende ]
.jpg){kind=link}